Question

20．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 如图根据椭圆的性质可知，∠F₁PF₂当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=120°，∠F₁AF₂≥120°，∠F₁AO≥60°，即可，

解答 解：如图根据椭圆的性质可知，∠F₁PF₂当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，
要椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=120°，
∠F₁AF₂≥120°，∠F₁AO≥60°，sin∠F₁AO=$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故椭圆离心率的取范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
故答案为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

点评 本题考查了椭圆的离心率，借助平面几何知识是关键，属于中档题．