Question

设函数f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.

(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)(x≥1)，求证：当p≤－时，有g(x)≤0.

 

Answer 1

（1）f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

（2）见解析

【解析】(1)解：当p＝1时，f(x)＝ln x－x＋1，

其定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝－1，

由f′(x)＝－1＞0，得0＜x＜1，

由f′(x)<0，得x>1，

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，

单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)证明：由函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)

＝xln x＋p(x2－1)，

得g′(x)＝ln x＋1＋2px.

由(1)知，当p＝1时，f(x)≤f(1)＝0，

即不等式ln x≤x－1成立，

所以当p≤－时，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(1＋2p)x≤0，

即g(x)在[1，＋∞)上单调递减，

从而g(x)≤g(1)＝0满足题意．