Question

设x∈（0，

π

2

）且1+（3-λ）sinxcosx+3cos²x≥0恒成立，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由条件可得 3-λ≥-（tanx+4cotx）恒成立，利用基本不等式求得tanx+4cotx的最小值为4，可得-（tanx+4cotx）的最大值为-4，可得3-λ≥-4，从而求得λ的范围．

解答： 解：由条件可得 3-λ≥-

1+3cos2x

sinxcosx

=-

sin2x+4cos2x

sinxcosx

=-（tanx+4cotx）恒成立．
由x∈（0，

π

2

），可得tanx＞0，cotx＞0，∴由基本不等式可得tanx+4cotx≥4，
即tanx+4cotx的最小值为4，即-（tanx+4cotx）的最大值为-4，
∴3-λ≥-4，∴λ≤7，
故答案为：（-∞，7]．

点评：本题主要考查求三角函数的最值，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于基础题．