Question

20．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），直线C的极坐标方程为ρsinθ=1，射线θ=φ，θ=$\frac{π}{4}$+φ（φ∈[0，π]）与曲线C₁分别交异于极点O的两点A，B．
（I）把曲线C₁和C₂化成直角坐标方程，并求直线C₂被曲线C₁截得的弦长；
（II）求|OA|²+|OB|²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得直角坐标方程，并求直线C₂被曲线C₁截得的弦长；
（II）|OA|²+|OB|²=8sin²（φ+$\frac{π}{4}$）+8cos²φ=4$\sqrt{2}$sin（2φ+$\frac{π}{4}$）+8，即可求|OA|²+|OB|²的最小值．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），∴ρ=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2为圆C的直角坐标方程；
直线C₂的极坐标方程为ρsinθ=1，直角坐标方程为y=1
y=1，x=1±$\sqrt{2}$，∴直线C₂被曲线C₁截得的弦长=2$\sqrt{2}$-----------------（4分）
（II）|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+φ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$cosφ--（6分）
|OA|²+|OB|²=8sin²（φ+$\frac{π}{4}$）+8cos²φ=4$\sqrt{2}$sin（2φ+$\frac{π}{4}$）+8，
∵φ∈[0，π]，
∴2φ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
∴|OA|²+|OB|²的最小值为8-4$\sqrt{2}$---（10分）

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查三角函数知识的运用，属于中档题．