Question

3．已知函数f（x）=sin²ωx+（2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx的图象相邻的两个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0）和（$\frac{7π}{12}$，0），其中ω为常数．
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）在锐角△ABC，内角A，B，C对边a，b，c且满足a=2bsinA，求f（C）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（2）利用正弦定理求得sinC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（C）的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin²ωx+（2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$） 的图象相邻的两个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0）和（$\frac{7π}{12}$，0），
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=1，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）在锐角△ABC中，∵a=2bsinA，∴sinA=2sinB•sinA，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{6}$，
∴f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）．
再根据B+C=$\frac{5π}{6}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，∴2C-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴f（C）∈（1，2）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理的应用以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．