Question

17．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

组别	分组	频数	频率
第1组	[50，60）	8	0.16
第2组	[60，70）	a
第3组	[70，80）	20	0.40
第4组	[80，90）		0.08
第5组	[90，100）	2	b
合计

（1）写出a，b，x，y的值．
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学的成绩在[90，100]内的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

Answer 1

分析 （1）利用频率=$\frac{频数}{样本容量}$×100%，及$\frac{频率}{组距}$表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题意得，样本总人数是$\frac{8}{0.16}$=50，
∴b=$\frac{2}{50}$=0.04，
第四组的频数=50×0.08=4，
∴a=50-8-20-2-4=16，
y=$\frac{0.04}{10}$=0.004，x=$\frac{16}{50}$×$\frac{1}{10}$=0.032，
∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004；
（2）①由题意可知，第4组有4人；记为A、B、C、D；
第5组有2人，记为：X、Y；共6人，
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有${C}_{6}^{2}$=15种情况，
记“随机所抽取的2名同学中至少有1名同学的成绩在[90，100]内”为事件E，
有AX、AY、BX、BY、CX、CY、DX、DY、XY共9种情况，
∴P（E）=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$；
②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，
则有AB、AC、AD、BC、BD、CD、XY共7种情况，
∴P（F）=$\frac{7}{15}$．

点评 熟练掌握频率=$\frac{频数}{样本容量}$×100%，及$\frac{频率}{组距}$表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式是解题的关键．