Question

2．已知O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线C上一点P满足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a²，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 设P为双曲线右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，运用向量的运算和数量积的性质可得直角三角形，再由勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由双曲线的渐近线方程即可得到所求．

解答 解：设P为双曲线右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
双曲线C上一点P满足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
即有（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，即|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
点P满足PF₁⊥PF₂，可得m²+n²=4c²，
即有（m-n）²+2mn=4c²，
又mn=2a²，
可得4a²+4a²=4c²，
即有c=$\sqrt{2}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即为y=±x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查渐近线方程的求法，以及运算能力，属于中档题．