Question

1．已知f（x）=lnx+x，g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程；
（2）求函数g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求导数，可得切线斜率，即可求出直线l的方程；
（2）利用g′（1）=2，g（1）=0，求出a，b，即可求函数g（x）的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
∴f′（1）=2，
∴直线l的方程为y=2x-2；
（2）∵g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，
∴g′（x）=x²+x+a，
∴g′（1）=2+a=2，∴a=0，
（1，0）代入g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，可得b=0，
∴g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键．