Question

6．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在（m，1）上的奇函数（a，b，m为常数），且f（2）=$\frac{4}{5}$．
（1）确定函数f（x）的解析式及定义域；
（2）判断并利用定义证明f（x）在（m，1）的单调性．
（3）若对任意t∈[-2，2]，是否存在实数x使f（tx-2）+f（x）＜0恒成立？若存在则求出实数x的取值范围，若不存在则说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数定义域关于原点对称，f（0）=0，求出m，b的值；
（2）利用定义法任取实数x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负即可；
（3）由题意可知对任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，可以看成关于t的一次函数，可得-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，解得x无解．

解答 解：（1）函数f（x）是定义在（m，1）上的奇函数，
∴m=-1．由f（0）=0，得b=0，
又由f（2）=$\frac{2a}{5}$=$\frac{4}{5}$，得a=2．
即f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，定义域为（-1，1）┉．┉┉（4分）
（2）判定：函数f（x）在（-1，1）上单调递增．┉┉┉（5分）
证明：任取实数x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$．┉┉┉（6分）
∵-1＜x₂＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增；（8分）
（3）函数f（x）定义域为（-1，1）
∴对任意的t∈[-2，2]，-1＜tx-2＜1，
∴-1＜-2x-2＜1且-1＜2x-2＜1，
∴x无解，故这样的x不存在．

点评 考查了奇函数的性质，单调性的证明和复合函数单调性问题．