Question

10．在△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，$\sqrt{3}$b=c，则tanA的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosBsinC=-3sinBcosC，根据正弦定理，余弦定理化简整理可得：2a²+b²=c²，结合已知$\sqrt{3}$b=c，解得a=b，可得A为锐角，进而利用余弦定理可求cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，tanA的值．

解答 解：∵sinA+2sinBcosC=sin（B+C）+2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0，
∴cosBsinC=-3sinBcosC，
∴ccosB=-3bcosC，可得：c•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=（-3）b•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：2a²+b²=c²，
又∵$\sqrt{3}$b=c，
∴2a²+b²=c²=3b²，解得a=b，可得A为锐角，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+3{b}^{2}-{b}^{2}}{2b×\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sinA=$\frac{1}{2}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．