Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，b=3，A=60°．
（Ⅰ）求a的长；    
（Ⅱ）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理即可解得a的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可求cosC的值，利用正弦定理可求sinC的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵c=2，b=3，A=60°．
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=7，
∴$a=\sqrt{7}$．
（Ⅱ）∵由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{2}{{\sqrt{7}}}$，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}，sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$，
∴$sin2C=2sinCcosC=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．