Question

10．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F．
（1）求证：EC=EF；
（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

Answer 1

分析 （1）运用圆内接四边形的性质，内角平分线的定义，证明∠ECF=∠EFC，即可证明EC=EF；
（2）由三角形相似的判定定理，证明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割线定理，即可求AC•AF的值．

解答 （1）证明：因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA
∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，
AE平分∠BAC，可得∠CAE=∠BAE，
可得∠ECF=∠EFC，即△ECF为等腰三角形，
所以EC=EF；
（2）解：因为∠ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即$\frac{CE}{EA}$=$\frac{DE}{CE}$，即EA=$\frac{E{C}^{2}}{DE}$，
又ED=2，EF=3，
由（1）知，EC=EF=3，所以EA=$\frac{9}{2}$，
所以AC•AF=AD•AE=（AE-DE）•AE=（$\frac{9}{2}$-2）×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，圆的内接四边形的性质，割线定理的运用，考查推理和计算能力，属于中档题．