Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，若AF与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设出F（c，0），A（0，b），双曲线C的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可设F（c，0），A（0，b），
若AF与双曲线C的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x垂直，
可得$\frac{b-0}{0-c}$•$\frac{b}{a}$=-1，
即为ac=b²，由b²=c²-a²，
即有c²-ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$可得e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负的舍去），
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．