题目内容

16．近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：
PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300
空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染
天数413183091115
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．
（1）试写出S（x）的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？
附：
P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k01.322.072.703.745.026.637.8710.828
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
非重度污染重度污染合计
供暖季22830
非供暖季63770
合计8515100

分析 （1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；
（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；
（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．

解答 解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：$S（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x∈[{0，100}]\\ 4x-100，x∈（100，300]\\ 2\;000，x∈（300，+∞）.\end{array}\right.$
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，
由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，$P（A）=\frac{39}{100}$，
（3）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计
供暖季22830
非供暖季63770
合计8515100
K2的观测值$k=\frac{{100×{{（63×8-22×7）}^2}}}{85×15×30×70}≈4.575＞3.841$，
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．

点评 本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．

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