题目内容
3．证明：f（x）=x3-3x在[-1，1]上是减函数．分析 解法一：利用在[-1，1]上，f′（x）＜0，证得f（x）在[-1，1]上是减函数．
解法二：用函数单调性的定义进行证明，设x1＜x2，运用作差法证出f（x1）＞f（x2）；问题得以解决．
解答 解：解法一：在[-1，1]上，∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3=3（x2-1）≤0，
∴f（x）=x3-3x在[-1，1]上是减函数．
解法二：设-1≤x1≤x2≤1，
∵f（x1）-f（x2）=${{x}_{1}}^{3}$-3x1-${{x}_{2}}^{3}$+3x2=（x1-x2）（${{x}_{1}}^{2}$+x1•x2+${{x}_{2}}^{2}$）-3（x1-x2）=（x1-x2）（${{x}_{1}}^{2}$+x1•x2+${{x}_{2}}^{2}$-3）=（x1-x2）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3]，
由题设可得，x1-x2＜0，x1+$\frac{{x}_{2}}{2}$＞-$\frac{3}{2}$，或x1+$\frac{{x}_{2}}{2}$＜$\frac{3}{2}$，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$＜$\frac{9}{4}$，且$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$≤$\frac{3}{4}$，
∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$＜3，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＜0，∴（x1-x2）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＞0，
即f（x1）＞f（x2），故f（x）=x3-3x在[-1，1]上是减函数．
点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数单调性的定义，作差法是常用的方法，证明过程中注意符号的变化以及自变量的取值范围，属于中档题．
