题目内容
设an＝1＋
＋
＋…＋
(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．
答案：
解析：
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热点分析 本题是一个存在性问题，整式g(n)可通过“观察 解答 假设g(n)存在，探索g(n)， 当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)， 即1＝g(2)×(1＋ 解得g(2)＝2； 当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 即1＋(1＋ 解得g(3)＝3； 当n＝4时，同样可解得g(4)＝4． 由此猜想g(n)＝n，(n≥2，n∈N*) 下面用数学归纳法证明： 当n≥2时，n∈N*时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． (1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2· (2)假设n＝k(k≥2)时结论成立，则 a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak ＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 ＝(k＋1)(ak＋ 这说明当n＝k＋1时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对于大于1的自然数n，存在g(n)＝n使a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)恒成立． |
归纳
－1)，
)＝g(3)×(1＋
＋
－1)，
＝1，结论成立；
－1)－(k＋1)(ak+1－1)．
练习册系列答案
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从C上一点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）。设x1＝1，an＝xn+1－xn，bn＝yn－yn+1 
③记数列{an·bn}的前n项和为Sn，求证：