Question

18．已知m是实数，命题p：函数$f（x）={log_2}（{x^2}+m）$是定义域为R的偶函数，命题q：函数g（x）=（m²-2m-2）^x是R上的减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p真时，x²+m＞0，可得m＞-x²，m＞0．命题q真时，则0＜m²-2m-2＜1，解得$-1＜m＜1-\sqrt{3}$，或$1+\sqrt{3}＜m＜3$．．由p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命题p真时，x²+m＞0，∴m＞-x²，可得m＞0，
因此m的取值范围为（0，+∞）．
命题q真时，则0＜m²-2m-2＜1，
解得$-1＜m＜1-\sqrt{3}$，或$1+\sqrt{3}＜m＜3$．
∴m的取值范围为$（-1，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，3）$，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m≤-1或1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-1＜m＜1-\sqrt{3}或1+\sqrt{3}＜m＜3}\end{array}\right.$．
解得$0＜m≤1+\sqrt{3}$，或m≥3，或$-1＜m＜1-\sqrt{3}$．
∴所求m的取值范围为$（-1，1-\sqrt{3}）∪（0，1+\sqrt{3}]∪[3，+∞）$．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．