Question

13．如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PA⊥AB，F是线段PB上一点，且EF⊥PB，点E在线段AB上，CE⊥AB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，PA⊥△ABC，PA⊥CE，CE⊥PB，再由EF⊥PB，能证明PB⊥平面EFC．
（2）由PB⊥CE，PA⊥平面ABC，知AB⊥CE，过F作FG⊥AB点于G，则∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，由此能求出二面角B-CE-F的正切值．

解答 证明：（1）∵PA²+AC²=36+64=100=PC²，
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．…（1分）
∵PA⊥AB，PA⊥AC，AC∩AB=A，
∴PA⊥△ABC．…（3分）∴PA⊥CE，
由题意CE⊥△PAB，则CE⊥PB，
又EF⊥PB，EF∩CE=E，
故PB⊥平面EFC…（5分）
解：（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．…（6分）
在平面PAB内，过F作FG⊥AB点于G，
则FG⊥平面ABC，EG是EF在平面ABC上的射影，
∴EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角…（8分）
$tan∠FEB=\frac{1}{tan∠PBA}=\frac{AB}{AP}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，
即二面角B-CE-F的正切值为$\frac{5}{3}$．…（10分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考百二面角的正争值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．