Question

5．某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：
（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？

年级名次 是否近视	1～50	951～1000
近视	41	32
不近视	9	18

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（2分）
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…（4分）
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×$\frac{82}{100}$=820．…（6分）
（Ⅱ）K²=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$=$\frac{300}{73}$≈4.110＞3.841．…（10分）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（12分）

点评 本题考查直方图，考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，比较基础．