题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，右准线方程是x=4，左、右顶点分别为A、B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点M满足MB⊥AB，直线AM交椭圆于点P，求证：
OM
•
OP
为定值；
（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知得
e=
c
a
=
2
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由已知A（-2
2
，0），B（2
2
，0），M（2
2
，yM），设P（x1，y1），直线MA的方程为y=
yM
4
2
x+
yM
2
，代入
x2
8
+
y2
4
=1，得（1+
ym2
16
）x2+
yM2
2
2
x+
yM2
2
-8=0，从而x1=
-2
2
(yM2-16)
yM2+16
，y1=
16yM
yM2+16
，由此求出
OM
•
OP
为定值8．
（3）依题意kPB=
16yM
yM2+16
-2
2
(yM2-16)
yM2+16
-2
2
=-
2
2
yM
，由MQ⊥PB，得kMQ=
yM
2
2
，从而MQ的方程为y=
yM
2
2
x，由此得直线MQ过定点O（0，0）．
解答： （1）解：∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，右准线方程是x=4，
∴
e=
c
a
=
2
2
a2
c
=4
a2=b2+c2
，解得a=2
2
，b=2，c=2，
∴椭圆的标准方程为
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）证明：∵椭圆的标准方程为
x2
8
+
y2
4
=1，
∴A（-2
2
，0），B（2
2
，0），
∵MB⊥AB，∴M（2
2
，yM），设P（x1，y1），
直线MA的方程为y=
yM
4
2
x+
yM
2
，
代入
x2
8
+
y2
4
=1，得（1+
ym2
16
）x2+
yM2
2
2
x+
yM2
2
-8=0，
由-2
2
x1=
8(yM2-16)
yM2+16
，得x1=
-2
2
(yM2-16)
yM2+16
，从而y1=
16yM
yM2+16
，
∴
OM
•
OP
=（
-2
2
(yM2-16)
yM2+16
，
16yM
yM2+16
）•（2
2
，yM）
=
-8ym2+128
yM2+16
+
16yM2
yM2+16
=8，
∴
OM
•
OP
为定值8．
（3）解：直线MQ过定点O（0，0），理由如下：
依题意kPB=
16yM
yM2+16
-2
2
(yM2-16)
yM2+16
-2
2
=-
2
2
yM
，
由MQ⊥PB，得kMQ=
yM
2
2
，
则MQ的方程为y-yM=
yM
2
2
（x-2
2
），即y=
yM
2
2
x，
∴直线MQ过定点O（0，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查
OM
•
OP
为定值的证明，考查直线MQ是否过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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x-3
x-2
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充分不必要条件，则实数a的取值范围．（　　）
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B、[1，2]
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i
1+i
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．
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A、{6}
B、{2，4}
C、{2，4，6}
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A、610B、630
C、950D、1280
一个球的体积为4
3
π，则表面积为
 
．
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b
a
=
 
．
已知与双曲线
x2
16
-
y2
9
=1共焦点的双曲线过点P（-
5
2
，-
6
），求该双曲线的标准方程．

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