Question

15．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）对任何x，y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（x）＞0，当x＞1时，有f（x）＜1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）利用赋值法结合函数单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；

解答 解：（1）令x=y=1得，f（1）=f（1）•f（1），其f（1）＞0，
则f（1）=1，
再令x=y=-1，得f（-1）=1，
再令y=-1得，f（-x）=f（-1）f（x）=f（x），
则f（x）为偶函数．
（2）若0＜x＜1，则$\frac{1}{x}$＞1，0＜f（$\frac{1}{x}$）＜1
则f（1）=f（x•$\frac{1}{x}$）=f（x）f（$\frac{1}{x}$）=1，
则f（x）=$\frac{1}{f（\frac{1}{x}）}$＞1，
即当x＞0时，f（x）＞0，
设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即0＜f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜1，
则$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}•{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）•f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜1，
即f（x₂）＜f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，函数单调性的判断和证明，不等式的求解，根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义是解决本题的关键．利用赋值法是解决抽象函数的常用方法，考查学生的运算和推理能力．