Question

1．若对于任意的x∈[-1，0]，关于x的不等式3x²+2ax+b≤0恒成立，则a²+b²-2的最小值为（　　）

• A． $-\frac{1}{5}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据二次函数的图象及性质，求出a，b的关系式，a²+b²看是圆的半径问题与区域图的最小值即可求解．

解答 解：对于任意的x∈[-1，0]，关于x的不等式3x²+2ax+b≤0恒成立，
令f（x）=3x²+2ax+b，
即f（x）≤0恒成立，
满足：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b≤0}\\{b≤0}\end{array}\right.$
该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设z=a²+b²-2，a²+b²=2+z；
∴该方程表示以原点为圆心，半径为$\sqrt{2+Z}$的圆；
原点到直线-2a+b+3=0的距离等于最小的半径；
∴该圆的半径$\sqrt{2+z}≥\frac{|3|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$；
解得；$z≥-\frac{1}{5}$
∴a²+b²-2的最小值为$-\frac{1}{5}$．
故选：A．

点评 考查对二次函数图象的熟练掌握，能画出不等式组所表示的平面区域，直线的方程，圆的方程，以及数形结合及线性规划的知识解题的方法．