Question

（本小题满分14分）已知椭圆C : , 经过点P，离心率是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

（1）； （2）详见解析；

【解析】

试题分析：（1）由椭圆过点P 得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定 的值从而得到椭圆C的方程；

（2）设，，直线的方程为 ，或，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于 或的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及平面向量的数量积确定的关系，从而找出定点坐标．注意不论直线的方程设为哪一种形式都要先考察它与坐标轴平行的特殊情况．

试题解析：【解析】
（1）由，解得 ，

所以椭圆C的方程是 ． ． 5分

（2）方法一

（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意．

（2)不妨设直线的方程为 ．

由 消去得． 7分

设，，则有 ①, ② 8分

因为以为直径的圆过点，所以．

由，得．

将代入上式，

得． ③ 12分

将①②代入③，得 ，

解得或（舍）．

综上，直线经过定点 14分

方法二

证明：

（1）当不存在时，易得此直线恒过点． 7分

（2）当存在时．设直线，，，．

由，可得．

①

．② 9分

由题意可知

,

可得 ． 10分

整理得 ③

把①②代入③整理得

由题意可知

解得

（1）当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉． 12分

（2），即，直线过定点，经检验符合题意．

综上所述，直线过定点 14分

考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题．