Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，M为椭圆C短轴的一个端点，N为椭圆上的点|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂为等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若k_AC•k_BD=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
①求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最值；
②求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂为等腰直角三角形，列出方程组，求出a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．
②设原点到直线AB的距离为d，先由弦长公式求出三角形AOB的面积，再由四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=4S_△AOB，能证明四边形ABCD的面积为定值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，
M为椭圆C短轴的一个端点，N为椭圆上的点|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂为等腰直角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2\sqrt{2}+2}\\{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
证明：（2）①设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，①
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OA•k_OB=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴y₁y₂=-$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²
=${k}^{2}•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴-（m²-4）=m²-8k²，
∴4k²+2=m²，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+2-4}{1+2{k}^{2}}$=2-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2=2-4≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜2．
当k=0（此时m²=2，满足①式），即直线AB平行于x轴时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值为-2．
又直线AB的斜率不存在时$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值为2．
证明：②设原点到直线AB的距离为d，
则${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{2}-{x}_{1}|$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{16（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}$
=2$\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=4S_△AOB=8$\sqrt{2}$．
即四边形ABCD的面积为定值 8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查向量的数量积的最值的求法，考查四边形面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式的合理运用．