Question

3．过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作圆C：x²+y²-8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y-11=0．
（1）求实数a的值；
（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，圆C的圆心与半径，利用射影定理，建立方程，即可求实数a的值；
（2）根据对称性，结合以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．

解答 解：（1）抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F（0，$\frac{1}{4a}$），圆C：x²+y²-8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，C到直线MN：3y-11=0的距离为$\frac{1}{3}$，
∴由射影定理可，1²=$\frac{1}{3}•（4-\frac{1}{4a}）$，∴a=$\frac{1}{4}$；
（2）抛物线的标准方程为x²=4y，焦点F（0，1），y=1时，x=±2，
∵圆C：x²+y²-8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，
∴以（0，1）为圆心，2为半径的圆与圆C相切，
∴直线l的方程为y=1．

点评 本题考查抛物线方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．