Question

19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（8，$\frac{π}{2}$），若直线l过点P，且倾斜角为$\frac{π}{3}$，圆C以M为圆心、8为半径．
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）若直线l和圆C相交于点A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，直线l的普通方程是y+5=（x-1）tan $\frac{π}{3}$，此方程可化为$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$=t（t为参数），得直线l的参数方程．如图，设圆上任意一点为P（ρ，θ），则在△POM中，由余弦定理，得PM²=PO²+OM²-2•PO•OMcos∠POM，化简即可得出．
（2）由（1）可进一步得出圆C的直角坐标方程是x²+（y-8）²=64，将直线l的参数方程代入上式有${t^2}+（1-13\sqrt{3}）t+106=0$，|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|．

解答 解：（1）由题意，直线l的普通方程是y+5=（x-1）tan $\frac{π}{3}$，此方程可化为$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$，
令$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$=t（t为参数），得直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
如图，设圆上任意一点为P（ρ，θ），则在△POM中，由余弦定理，得PM²=PO²+OM²-2•PO•OMcos∠POM，
∴8²=ρ²+8²-2×8ρcos$（θ-\frac{π}{2}）$．

化简得ρ=16sin θ，即为圆C的极坐标方程． 
（2）由（1）可进一步得出圆C的直角坐标方程是x²+（y-8）²=64
将直线l的参数方程代入上式有${t^2}+（1-13\sqrt{3}）t+106=0$
设点A、B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁•t₂=106．
故|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=106．

点评 本题考查了直线与圆相交弦长问题、极坐标的应用、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．