Question

17．已知单调递增的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₈=12，a₃•a₆=-18，则数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-12；若数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ，则数列{a_bn}的前n项和T_n=6•2ⁿ-12n-6．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）由c_n=a_bn结合数列{a_n}和{b_n}的通项公式得到数列{c_n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设单调递增的等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d（d＞0），
由S₈=12，a₃•a₆=-18，
得$\left\{\begin{array}{l}{8{a}_{1}+\frac{8（8-1）d}{2}=12}\\{（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+5d）=-18}\end{array}\right.$
解得d=3，d=-2（舍去），a₁=-9，
∴a_n=-9+3（n-1）=3n-12，
（2）由b_n=2ⁿ，
∴a_bn=3×2ⁿ-12，
∴T_n=（3×2¹-12）+（3×2²-12）+（3×2³-12）+…+（3×2ⁿ-12）
=3（2¹+2²+…+2ⁿ）-12n=3×$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-12n=6•2ⁿ-12n-6；
故答案为：3n-12，6•2ⁿ-12n-6．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．