Question

6．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$[$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）]．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）说明f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件结合对数函数的性质进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断
（3）根据复合函数单调性之间的关系进行求解．

解答 解：（1）由题意得$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）＞0$，即$sin（x-\frac{π}{4}）＞0$，
所以$2kπ＜x-\frac{π}{4}＜2kπ+π$，
所以$2kπ+\frac{π}{4}＜x＜2kπ+\frac{5π}{4}$
因此f（x）的定义域为$（2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）$…（2分）
又因为$0＜sin（x-\frac{π}{4}）≤1$，所以$0＜\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，…（3分）
再考察$y={log_{\frac{1}{2}}}t（0＜t≤\sqrt{2}）$的图象，可知$y≥-\frac{1}{2}$，
所以f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，+∞）$…（5分）
（2）由（1）知f（x）的定义域不关于原点对称，故f（x）是非奇非偶函数．…（8分）
（3）由题意可知$2kπ+\frac{π}{2}＜x-\frac{π}{4}＜2kπ+π$…（10分）
即$2kπ+\frac{3π}{4}＜x＜2kπ+\frac{5π}{4}$，
所以f（x）的单调增区间为$（2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}）（k∈Z）$…（12分）

点评 本题主要考查函数定义域，值域，单调性，奇偶性的求解和判断，根据对数函数的性质以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．