Question

19．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=2，$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=$\sqrt{2}$（n∈N^*，n≥2）
（1）求S_n的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{4}$（n∈N^*），是否存在正整数n使得$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＞2成立？如果存在，请求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=$\sqrt{2}$（n∈N^*，n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=2n²，利用递推关系即可得出．
（3）b_n=$\frac{（4n-2）（4n+2）}{4}$=4n²-1，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法可得：$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，即可判断出结论．

解答 解：（1）∵a₁=2，$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=$\sqrt{2}$（n∈N^*，n≥2），
∴数列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\sqrt{2}$，公差为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{2}+（n-1）\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$n．
（2）由（1）可得：S_n=2n²，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2．n=1时也成立．
∴a_n=4n-2．
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{4}$=$\frac{（4n-2）（4n+2）}{4}$=4n²-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
因此不存在正整数n使得$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＞2成立．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．