Question

14．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，G为EC的中点，AF=AB=BC=FE=$\frac{1}{2}$AD．
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求证：平面AGD⊥平面CDE；
（Ⅲ）求直线CE与平面ADEF所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）由BC∥FE，BC=FE可得四边形BCEF是平行四边形，故而BF∥CE，于是BF∥平面CDE；
（II）过点E作EP⊥AD于P，连接CP、AC、AE，通过计算可得AC=AE=CD=DE，由等腰三角形的性质得出AG⊥CE，DG⊥CE，于是CE⊥平面ADG，故而平面AGD⊥平面CDE；
（III）证明AB⊥平面ADEF，又BF∥CE，于是直线CE与平面ADEF所成角等于BF与平面ADEF所成的角，故∠BFA即为所求的角．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC∥FE，BC=FE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∴BF∥CE．
∵BF?平面CDE，CE?平面CDE，
∴BF∥平面CDE．
（Ⅱ）证明：过点E作EP⊥AD于P，连接CP、AC、AE，
设AF=a，则EP=PD=PC=a，AC=AE=$CD=DE=\sqrt{2}a$．
∴△CDE，△ACE为等腰三角形．
∵G为EC的中点，
∴DG⊥CE，AG⊥CE．
又AG?平面ADG，DG?平面ADG，AG∩DG=G，
∴CE⊥平面ADG．
∵CE?平面CDE，
∴平面AGD⊥平面CDE．
（Ⅲ）∵BA⊥AF，BA⊥AD，AF∩AD=A，
∴BA⊥平面ADEF．
∴∠BFA即为直线BF与平面ADEF所成角．
∵$tan∠BFA=\frac{AB}{AF}=1$，
∴∠BFA=45°．
∵BF∥CE，
∴直线CE与平面ADEF所成的角为45°．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．