Question

11．已知n＞0，求证：3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$≥3$\root{3}{9}$．

Answer 1

分析 由n＞0，可得3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{3n}{2}$+$\frac{3n}{2}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$，运用三元均值不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$（a，b，c＞0，且a=b=c时取得等号），即可得证．

解答 证明：n＞0时，3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{3n}{2}$+$\frac{3n}{2}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$
≥3$\root{3}{\frac{3n}{2}•\frac{3n}{2}•\frac{4}{{n}^{2}}}$=3$\root{3}{9}$，
当且仅当$\frac{3n}{2}$=$\frac{4}{{n}^{2}}$，即n=$\root{3}{\frac{8}{3}}$时，取得等号．
则3n+$\frac{4}{{n}^{2}}$≥3$\root{3}{9}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查变形的技巧和推理能力，属于基础题．