Question

8．已知$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的两个极值点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），则ax₂取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． $（{1，\frac{32}{27}}]$
• D． $（{0，\frac{32}{27}}]$

Answer 1

分析 求得由题意可知方程x²-2x+a=0由两个不等实根，则0＜a＜1，求得x₁，x₂，即可求得ax₂，构造辅助函数，换元，根据函数的单调性即可求得ax₂取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+a}$，求导f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+a）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
∵f（x）=的两个极值点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴方程x²-2x+a=0由两个不等实根，△=4-4a＞0，
∴0＜a＜1，
解得：x₁=1-$\sqrt{1-a}$，x₂=1+$\sqrt{1-a}$，
ax₂=a（1+$\sqrt{1-a}$），设g（a）=a（1+$\sqrt{1-a}$），令t=$\sqrt{1-a}$，0＜t＜1，则a=1-t²，
则g（t）=（1-t²）（1+t）=-t³-t²+t+1，g′（t）=-3t²-2t+1
令g′（t）=0，解得：t=-1（舍）t=$\frac{1}{3}$，
当t∈（0，$\frac{1}{3}$），g′（x）＞0，当t∈（$\frac{1}{3}$，1），g′（x）＜0，
∴g（t）在（0，$\frac{1}{3}$）单调递增，在（$\frac{1}{3}$，1）单调递减，
∴当t=$\frac{1}{3}$时，g（t）取最大值，最大值为g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{32}{27}$，
当t=1时，取最小值g（1）=0，
∴ax₂的取值范围（0，$\frac{32}{27}$]，
故选D．

点评 本题考查了函数的极值的概念及存在的充要条件、函数与方程思想，考查利用导数求函数的单调性及最值，属于中档题．