Question

4．已知函数f₁（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$；f₂（x）=（x-1）•$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$；f₃（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），（a＞0，a≠1）；f₄（x）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$），（x≠0），下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（　　）

• A． 都是偶函数
• B． 一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数
• C． 一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数
• D． 一个奇函数，三个偶函数

Answer 1

分析 先看各个函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性的定义进行判断，从而得出结论．

解答 解：对于函数f₁（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$，它的定义域为（-1，0）∪（0，1），f₁（-x）=f₁（x），
故f₁（x）为偶函数．
对于函数f₂（x）=（x-1）•$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ 的定义域为（-∞，-1]∪（1，+∞），
它的定义域不关于原点对称，故此函数f₂（x）没有奇偶性．
对于函数f₃（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（a＞0，a≠1），它的定义域为R，
f₃（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log_a（$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$）=-log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f₃（x），
故函数f₃（x）为奇函数．
对于函数 f₄（x）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$），（x≠0），它的定义域为{x|x≠0}，
∵f₄（-x）=-x•（$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x•（$\frac{{2}^{x}}{1{-2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=x•（$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）
=x•（$\frac{{2}^{x}-1+1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）=x•（ 1+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$）=x•（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f₄（x），
故f₄（x）为偶函数，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，注意考查函数的定义域是否关于原点对称，式子的变形是解题的关键，属于中档题．