Question

对于定义域为A的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在A内具有单调性；②存在区间[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；则称f（x）为闭函数．
（Ⅰ）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）判断函数f（x）=

3

2

x+

1

x

(x＞0)是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）=k+

x+3

是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,进行简单的合情推理

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，由新定义，得到方程，解得a，b即可得到所求区间；
（Ⅱ）函数f(x)=

3

2

x+

1

x

(x＞0)不是闭函数．可通过取特殊值检验即可判断；
（Ⅲ）由新定义即有a，b为方程x=k+

x+3

的两个实根，即方程x²-（2k+1）x+k²-3=0（x≥-3，x≥k）有两个不等的实根．对k讨论，当k≤-3时，当k＞-3时，运用二次函数的图象和性质得到不等式组解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，
则

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

，
所以，所求的区间为[-1，1]；
（Ⅱ）函数f(x)=

3

2

x+

1

x

(x＞0)不是闭函数．
理由如下：取x₁=2，x₂=4，则f(x1)=

13

4

＜f(x2)=

25

4

，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取x1=

1

3

，x2=

1

6

，则f(x1)=

7

2

＜f(x2)=

25

4

，
f（x）不是（0，+∞）上的增函数，
所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数；
（Ⅲ）若y=k+

x+3

是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，
函数y的值域也为[a，b]，即

a=k+ a+3 b=k+ b+3

，
即有a，b为方程x=k+

x+3

的两个实根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-3=0（x≥-3，x≥k）有两个不等的实根．
设g（x）=x²-（2k+1）x+k²-3
当k≤-3时，有

△＞0 g(-3)≥0 2k+1 2 ＞-3

，解得-

13

4

＜k≤-3．
当k＞-3时，有

△＞0 g(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，无解
综上所述，k∈(-

13

4

，-3]．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．