Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，过它的左焦点引倾斜角为$\frac{π}{3}$的弦PQ，则PQ中点坐标为（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$）．

Answer 1

分析 由题意设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程化简可得13x²+24$\sqrt{3}$x+32=0，从而利用韦达定理求解即可．

解答 解：由题意设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
易知a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，F₁（-$\sqrt{3}$，0），
故直线PQ的方程为y=$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$x+3，
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，13x²+24$\sqrt{3}$x+32=0，
故x₁+x₂=-$\frac{24\sqrt{3}}{13}$，
故y₁+y₂=x₁+x₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+6=$\frac{6}{13}$，
故PQ中点坐标为（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$），
故答案为：（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$）．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及数形结合的思想应用．