Question

10．在△ABC中，sinB=$\frac{12}{13}$，cosA=$\frac{3}{5}$，则sinC为（　　）

• A． $\frac{16}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$
• C． $\frac{63}{65}$
• D． $\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$

Answer 1

分析 先判断A，B的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案

解答 解：∵在△ABC中，由cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞cosA=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$=cos$\frac{π}{3}$，A∈（0，π），
∴$\frac{π}{4}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinB=$\frac{12}{13}$＜1
∴$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，或$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=±$\frac{5}{13}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
或sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$，
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，关键在于由已知条件判断A、B、C的范围，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．