Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$（n∈N₊）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，并猜测出{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+1}{n+1}$，分别令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出a_n的表达式．
（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}-1}{n+1}$，
当n=1时，a₂=$\frac{{a}_{1}-1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，a₃=$\frac{2{a}_{2}-1}{2+1}$=0，
当n=4时，a₄=$\frac{3{a}_{3}-1}{3+1}$=-$\frac{1}{4}$，
∴猜想a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．
（2）①当n=1时，a₁=$\frac{3-1}{1}$=2，等式成立，
②假设n=k时，猜想成立，即a_k=$\frac{3-k}{k}$，
那么当n=k+1时，a_k+1=$\frac{k{a}_{k}-1}{k+1}$=$\frac{3-k-1}{k+1}$=$\frac{3-（k+1）}{k+1}$，等式成立，
由①②可知，a_n=$\frac{3-n}{n}$，（n∈N₊）．

点评 本题考查数列的前四项的求法和通项公式的猜想及证明，是中档题，解题时要注意递推思想和数学归纳法的合理运用．