Question

2．椭圆C焦点在y轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，上焦点到上顶点距离为2-$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S_△OPQ=1，则|$\overrightarrow{OP}$|²+|$\overrightarrow{OQ}$|²是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a-c=2-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得$a=2，c=\sqrt{3}$，
可得b²=a²-c²=1，
即有椭圆C的标准方程为：${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
S_△OPQ=|x₁|•|y₁|=1，
又${x_1}^2+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，解得${x_1}^2=\frac{1}{2}，{y_1}^2=2$，
|$\overrightarrow{OP}$|²+|$\overrightarrow{OQ}$|²=2（x₁²+y₁²）=2×（$\frac{1}{2}$+2）=5；                 
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
由题意知m≠0，将其代入${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，得
（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，
即有$\left\{\begin{array}{l}△={（{2km}）^2}-4（{{k^2}+4}）•（{{m^2}-4}）＞0⇒{k^2}+4＞{m^2}\\{x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}\end{array}\right.$，
则$|{PQ}|=\sqrt{（{1+{k^2}}）{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}$，O到PQ距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
则${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{PQ}|•d=\frac{{|m|•\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}}}{2}=\frac{{|m|•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}}}{2}=1$，
解得k²+4=2m²，满足△＞0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}=-\frac{k}{m}，{x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{2{m^2}}}$，
即有|$\overrightarrow{OP}$|²+|$\overrightarrow{OQ}$|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）
=$-3（{{x_1}^2+x_2^2}）+8=-3{（{{x_1}+{x_2}}）^2}+6{x_1}•{x_2}+8$
=$-3{（{-\frac{k}{m}}）^2}+6•\frac{{{m^2}-4}}{{2{m^2}}}+8=\frac{{-3{k^2}+3{m^2}-12}}{m^2}+8$=-3+8=5，
综上可得|$\overrightarrow{OP}$|²+|$\overrightarrow{OQ}$|²为定值5．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．