Question

17．设f（x）=x²-2ax+5（a＞1）
（1）若f（x）的定义域与值域都是[1，a]，求a值；
（2）在（1）的条件下，若关于x的不等式f（x）-5log₂m＞0在[-1，0]上恒成立，求m取值范圈．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域[1，a]内是减函数，再根据函数的值域也是[1，a]，联立$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}\right.$，可求a的值；
（2）由题意可得x²-4x+5＞5log₂m在[-1，0]上恒成立，运用f（x）的单调性求得在[-1，0]上的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴方程为x=a，
可得函数f（x）=x²-2ax+5在[1，a]上为减函数，
又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a+5=a}\\{{a}^{2}-2{a}^{2}+5=1}\end{array}\right.$，
解得：a=2；
（2）关于x的不等式f（x）-5log₂m＞0在[-1，0]上恒成立，
即为x²-4x+5＞5log₂m在[-1，0]上恒成立，
由f（x）在[-1，0]递减，可得f（0）取得最小值，且为5，
可得5log₂m＜5，解得0＜m＜2．
则m的取值范围是（0，2）．

点评 本题考查了二次函数的单调性，考查了函数的值域的求法，考查了不等式恒成立问题的解法，解答此题的关键是判断函数在给定定义域内的单调性，属于中档题．