Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中点。

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)若直线PA与平面PBC所成角为30°，求二面角P-AD-C的正切值；

(3)求证：直线PA与平面PBD所成的角φ为定值，并求sinφ值。

 

 

Answer 1

（1）见解析       (2) tan∠PDC =   (3) sinφ=

【解析】（1）设CA与BD相交于O，连EO，

由底面ABCD是菱形得O是中点，且CA⊥BD，

E是PA的中点，得OE//PC

∵ PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD

∴ OE⊥AC

∴ AC⊥面BDE 

（2）由上知，建立如图坐标系，设BD＝2a;

设平面的法向量为

,令x=1得

由题意PA与面PBC所成角为30°，得：得a=1。

解法一：当a=1时，底面ABCD是正方形，AD⊥CD

∵ PC⊥平面ABCD

∴ PC⊥AD

∴ AD⊥面PCD

则PD⊥AD

∠PDC是二面角P-AD-C的平面角，且tan∠PDC =解法二：当a=1时，

面ACD的法向量为（0,0,1），设面PAD的法向量为

令x=1,则

二面角P-AD-C的平面角为锐角θ，cosθ=,tanθ=(3)设面PBD的法向量为

令z=1得

则sinφ=为定值。