Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． ±1
• D． $±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由F$（\frac{p}{2}，0）$，由x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0配方为：$（x-\frac{p}{2}）^{2}$+y²=p²，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k$（x-\frac{p}{2}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线方程联立化为：x²-$（p+\frac{2p}{{k}^{2}}）$x+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，利用根与系数的关系及其抛物线的定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．利用|AB|=2|CD|，即可得出．

解答 解：由F$（\frac{p}{2}，0）$，由x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0配方为：$（x-\frac{p}{2}）^{2}$+y²=p²，可得：|CD|=2p．
设直线l的方程为y=k$（x-\frac{p}{2}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为：x²-$（p+\frac{2p}{{k}^{2}}）$x+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．
由|AB|=2|CD|，∴2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$=4p．，可得k²=1，解得k=±1．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．