题目内容
5．
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | 1 | C． | 2 | D． | $\sqrt{2}$ |
分析 根据题意，连接A1C1，B1D1，交于点M，点M满足条件，通过证明得出A1C1∥平面ACD1，BM∥平面ACD1，得出点M在直线A1C1上时，都满足BM∥ACD1；
从而求出tan∠DMD1的最大值．
解答 
解：如图所示，
正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点M，则点M满足条件；
证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OB1，
则A1A∥C1C，且A1A=C1C，
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
又AC?平面ACD1，且A1C1?平面ACD1，
∴A1C1∥平面ACD1；
同理BM∥D1O，BM∥平面ACD1，
∴当M在直线A1C1上时，都满足BM∥ACD1；
∴tan∠DMD1=$\frac{{DD}_{1}}{{MD}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$是最大值．
故选：D．
点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与运算能力的应用问题，是综合性题目．
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