Question

14．设f（x）=sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
可得f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{24}$个单位，得到函数y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+$\frac{π}{24}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$ 时，函数g（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 时，函数g（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．