Question

16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）函数h（x）=af$（\frac{x}{2}）-{sin^2}$x，x∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，有最小值为-1，求a的值和函数h（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对称性求得φ，利用周期得出ω，得出f（x）的解析式，再计算f（$\frac{π}{8}$）；
（2）求出h（x）解析式，令t=cosx，得出关于t的二次函数，根据对称轴讨论函数单调性，从而求出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（ωx+ϕ）为偶函数，且0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{2}$；
∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，∴ω=2，故f（x）=cos2x；
∴$f（\frac{π}{8}）=cos\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．      
（2）$h（x）=af（\frac{x}{2}）-{sin^2}x=acosx-{sin^2}x={cos^2}x+acosx-1={（cosx+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-1$
令t=cosx，$g（t）={（t+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-1，t∈[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
若$-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2}$时，即a≥1，$g{（t）_{min}}=g（-\frac{1}{2}）=-\frac{a}{2}-\frac{3}{4}=-1$，得$a=\frac{1}{2}$（舍去）；
若$-\frac{1}{2}＜-\frac{a}{2}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，即-$\sqrt{3}＜a＜1$，$g{（t）_{min}}=g（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-1=-1$，得a=0，
此时$f（-\frac{1}{2}）=-\frac{3}{4}，f（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=-\frac{1}{4}$，∴$f{（x）_{max}}=-\frac{1}{4}$．
若$-\frac{a}{2}≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，即$a≤-\sqrt{3}$，$g{（x）_{min}}=g（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a-\frac{1}{4}=-1$，得$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（舍去）
综上，$a=0，f{（x）_{max}}=-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，二次函数的性质，分类讨论思想，属于中档题．