Question

（本题满分13分）已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，是否存在使得点关于的对称点（不同于点）在椭圆上？若存在求出此时直线的方程，若不存在说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的方程为；（2）不存在满足条件.

【解析】

试题分析：（1）由2c=，得 ；又点在椭圆上，.解方程组求出，即可得椭圆的方程；（2）当时，直线，可求出点，检验知，不在椭圆上；当时，可设直线，即代入整理得，因为，所以若关于直线对称，则其中点在直线上.所以，解得因为此时点在直线上，所以对称点与点重合，不合题意所以不存在满足条件.

试题解析：（1）由已知，焦距为2c= 1分

又 2分

点在椭圆上， 3分

故，所求椭圆的方程为 5分

（2）当时，直线，点不在椭圆上； 7分

当时，可设直线，即 8分

代入整理得

因为，所以

若关于直线对称，则其中点在直线上 10分

所以，解得因为此时点在直线上， 12分

所以对称点与点重合，不合题意所以不存在满足条件. 13分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.