题目内容
5．数列{an}是递减的等差数列，{an}的前n项和是Sn，且S6=S9，有以下四个结论：①a8=0；
②若对任意n∈N+，都有Sn≤Sk成立，则k的值等于7或8时；
③存在正整数k，使Sk=0；
④存在正整数m，使Sm=S2m．
其中所有正确结论的序号是（ ）
| A． | ①② | B． | ①②③ | C． | ②③④ | D． | ①②③④ |
分析 由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差数列的性质化简，得到a8=0，进而得到选项①正确；再由数列{an}是递减的等差数列以及a8=0，可得出当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简后，将a8的值代入可得出S15=0，故存在正整数k，使Sk=0，选项③正确；当m=5时，表示出S10-S5，利用等差数列的性质化简后，将a8=0代入可得出S10-S5=0，即S10=S5 ，故存在正整数m，使Sm=S2m，选项④正确．
解答 解：∵S6=S9，
∴a7+a8+a9=0，
由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；
∵数列{an}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，
∴当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；
∵a8=0，则S15=$\frac{1}{2}$（a1+a15）×15=15a8=0，
∴存在正整数k=15，使sk=0，选项③正确；
由等差数列性质，S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，
∴存在正整数m=5，使sm=s2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
点评 本题考查了等差数列性质，以及等差数列的前n项和公式，利用了等量代换、以及整体代入的思想．利用a8=0这一特殊项盘活了整个等量代换过程，故根据题意得出a8=0是解本题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
15．设Sn是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且${a_3}=-\frac{5}{2}$，则数列$\left\{{\frac{1}{{（2n+1）{a_n}}}}\right\}$的前n 项和Tn=（ ）
| A． | -$\frac{n}{2n+1}$ | B． | $\frac{n}{2n+1}$ | C． | -$\frac{2n}{2n+1}$ | D． | $\frac{2n}{2n+1}$ |
16．已知“p∧q”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（ ）
| A． | p∨q | B． | （￢p）∧（￢q） | C． | （￢p）∨q | D． | （￢p）∨（￢q） |
20．若i为虚数单位，$\frac{1}{i}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^5}+\frac{1}{i^7}+\frac{1}{i^9}$=（ ）
| A． | 0 | B． | -5i | C． | -2i | D． | -i |
10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1x2x3+$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$+1的取值范围是（ ）
| A． | （7，8） | B． | [4$\sqrt{3}$，8） | C． | [4$\sqrt{3}$，+∞） | D． | （7，+∞） |
17．设f（x）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），x∈R，则f（x）是（ ）
| A． | 周期为π的奇函数 | B． | 周期为π的偶函数 | ||
| C． | 周期为$\frac{π}{2}$的奇函数 | D． | 周期为$\frac{π}{2}$的偶函数 |
14．已知函数y=f（x），将f（x）图象沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位，然后把所得到图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，这样得到的曲线与y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象相同，那么y=f（x）的解析式为（ ）
| A． | f（x）=2sin（2x-$\frac{5π}{6}$） | B． | f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$） | C． | f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$） | D． | f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$） |