Question

9．已知直线l：y=kx+1与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜2）．
（1）若l与C恒有公共点，求椭圆C离心率的取值范围；
（2）若b=$\sqrt{2}$，令直线l与椭圆C的交点为A、B，求线段AB中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求得直线l恒过定点（0，1），再由题意可得（0，1）在椭圆的内部或椭圆上，即有$\frac{0}{4}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≤1，解得b的范围，再由离心率公式可得范围；
（2）求出椭圆方程，将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理，即可得到所求中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）l与C恒有公共点，可得直线l：y=kx+1
恒过定点（0，1）在椭圆的内部或椭圆上，
即有$\frac{0}{4}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≤1，解得b≥1，
又0＜b＜2，可得1≤b＜2，
由a=2，c²=a²-b²=4-b²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{4}}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
即有椭圆C离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]；
（2）由题意可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
将直线y=kx+1代入椭圆方程，可得
（1+2k²）x²+4kx-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，n），
可得x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，①
n=km+1=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，②
两式相除可得k=-$\frac{m}{2n}$，代入②可得
1+2•$\frac{{m}^{2}}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}$，化简可得m²+2n²-2n=0，
则线段AB中点P的轨迹方程为x²+2y²-2y=0（x≠0）．

点评 本题考查椭圆离心率的范围的求法，注意运用直线恒过定点，点在椭圆内或椭圆上的条件，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．