Question

8．已知sin（45°-α）=-$\frac{2}{3}$，且45°＜α＜90°，求sinα=$\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由正弦函数加法定理得sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由同角三角函数关系式得sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，由此能求出sinα．

解答 解：∵sin（45°-α）=-$\frac{2}{3}$，且45°＜α＜90°，
∴sin（45°-α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα--$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα=-$\frac{2}{3}$，
∴sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，①
∴（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinα•cosα=$\frac{8}{9}$，
∴1-2sinα•cosα=$\frac{8}{9}$，∴1+2sinα•cosα=$\frac{10}{9}$，
∴sin²α+cos²α+2sinα•cosα=（sinα+cosα）²=$\frac{10}{9}$，
∵45°＜α＜90°，∴sinα＞0，cosα＞0，
∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，②
联立①②，解得sinα=$\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．