Question

18．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$，且点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点T（m，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B、C、D四点，且M、N分别为线段AB、CD的中点，求△TMN的面积最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$，且点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上，求出p，可求抛物线E的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-m），直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-m），分别于抛物线方程联立，可得M，N的坐标，求出|TM|，|TN|，可得△TMN的面积，利用基本不等式，求出△TMN的面积的最小值．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），则x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴x₀=$\frac{3}{2}$-$\frac{p}{2}$（2分）
∵点P在圆x²+y²=$\frac{9}{4}$上，∴（3-p）²+4p（3-p）=9，解得：p=2
∴抛物线的方程为y²=4x．（4分）
（2）根据题意，直线AB、CD斜率存在且不为零，
设AB的斜率为k（不妨设k＞0），则CD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
直线AB的方程为y=k（x-m），直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-m）
由y=k（x-m），代入抛物线方程 得：k²x²-2（k²m+2）x+k²m²=0（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}m+2）}{{k}^{2}}$
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∴M（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）（8分）
同理，N（m+2k²，-2k）
∴|TM|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，|TN|=2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$（10分）
S_△TMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$•2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$=2（k+$\frac{1}{k}$）≥4
当且仅当k=1时，等号成立
∴△TMN面积最小值为4．（12分）

点评 本小题主要考查基本不等式应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．