Question

8．过圆x²+y²-6x-8y=0内一点A（5，3），任作两条相互垂直的射线，分别交圆于B，C两点，求线段BC的中点D的轨迹方程．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出BC中点D的坐标，以D为媒介，找到等式关系，代入点的坐标可得线段BC的中点D的轨迹方程．

解答 解：如图
由圆x²+y²-6x-8y=0，得（x-3）²+（y-4）²=25，
∴圆的圆心M（3，4），半径为r=5，
设D（x，y），
∵D为AB的中点，∴MD⊥BC，
又AC⊥AB，则AD=DC，
∴|MC|²=|MD|²+|DC|²=|MD|²+|AD|²，
则（x-3）²+（y-4）²+（x-5）²+（y-3）²=25，
整理得：x²+y²-8x-7y+17=0．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，体现了数学转化思想方法，训练了代入法，解答该题的关键是利用平面几何知识寻找关系，是中档题．